Indhold

Ubestemte integraler og stamfunktioner

Det ubestemte integral \( \displaystyle\int (x^2 + 4)\,\mathrm dx\) bestemmes således:

Integral(x^2 + 4)

Stamfunktionerne \(F\) til \(f(x) = 2x + 3 \) kan bestemmes på denne måde:

f(x) := 2x + 3

F(x) := Integral(f(x))

Her bestemmes den stamfunktion \(F\) til \(f(x)=2x+3\) hvis graf går gennem punktet \((1, 5)\). Det kan man gøre på to forskellige måder:

f(x) := 2x + 3

F(x) := Integral(f(x))

Beregn(F(1) = 5)

eller

f(x) := 2x + 3

F(x) := BeregnODE(f(x), (1,5))

Bemærkninger

Ved den sidste metode bestemmer man den løsning til differentialligningen \(y=f(x)\) hvis graf går gennem punktet \((1, 5)\).
Hvis man anvender den sidste metode, skal den uafhængige variabel hedde x.

Hvis den uafhængige variabel ikke hedder \(x\), men f.eks. \(t\), kan man stadig bestemme en stamfunktion ved at løse en differentialligning. Her bestemmes den stamfunktion \(G\) til \(g(t)=3t^2 - \ln(t)\) hvis graf går gennem punktet \((1, 4)\).

g(t) := 3t^2 − ln(t)

G(t) := BeregnODE(g(t), y, t, (1, 4))

Bestemte integraler

Det bestemte integral \(\displaystyle \int_{-1}^3 (x^2+4)\,\mathrm dx\) beregnes således:

Integral(x^2 + 4, −1, 3)

Arealet under grafen for \(f(x)=x^2+1 \) i intervallet \( 0\leq x\leq 3\):

f(x) := x^2 + 1

Integral(f(x), 0, 3)

Her beregnes det areal der afgrænses af graferne for de to funktioner \[ \begin{aligned} f(x) &= x^2 - 1 \\ g(x) &= \tfrac 12x + 2 \end{aligned} \]

f(x) := x^2 + 1

g(x) := 1/2 x + 2

G := Løsninger(f(x) = g(x))

Integral(g(x) − f(x), G(1), G(2))

Bemærkning

Listen G indeholder \(x\)-koordinaterne til skæringspunkterne mellem de to funktioner, dvs. integrationsgrænserne. G(1) og G(2) er hhv. første og andet element i denne liste.

Numerisk integration

Hvis et bestemt integral ikke kan beregnes analytisk fordi funktionsudtrykket er for kompliceret, kan man i stedet anvende kommandoen NIntegral.

Her beregnes \( \displaystyle\int_{-3}^3 f(x)\,\mathrm dx\) for funktionen \( f(x) = \ln(x^2 + \cos(x)) \):

f(x) := ln(x^2 + cos(x))

NIntegral(f(x), −3, 3)